Параметри на конститутивни модели на критичното състояние за глини от Софийското поле

Доц. д-р инж. Лена Михова, ас. инж. Таньо Танев, УАСГ Моделите на критичното състояние са основополагащи по отношение на тенденциите в развитието на съвременните конститутивни модели за геотехнически материали. Те обединяват независими на пръв поглед концепции в геомеханиката, като критично състояние, обемни деформации, формоизменения, ефективни напрежения, еластопластична работа на материала, якостен критерий. Разработването им започва през 50-те години на ХХ в. в университета в Cambridge и получава обобщение чрез създаването на оригиналната версия на модела Cam-Clay и публикуването през 1968 г. на книгата Critical State Soil Mechanics на авторите Schofield&Wroth (9). Следва развитие на концепциите на критичното състояние, което се изразява в създаването на нови версии на модела Cam-Clay (4, 7, 8) и тяхното експериментално потвърждение (12, 13, 14). Адаптацията на Cam-Clay вариантите за МКЕ (11, 15) прави възможно ефективното им приложение за решаване на геотехнически задачи и ги утвърждава като фундаментален физичен закон в геомеханиката. Детайли относно предпоставките и теорията на моделите са изложени в (1, 2, 3, 6), а в (8) е направен сравнителен анализ на резултати от проведени решения. Основни зависимости на моделите на критичното състояние Критичното състояние на почвите е дефинирано от Hvorslev (5) по следния начин: „Състояние на незатихващи деформации, които не водят до изменение на съпротивлението на срязване и на коефициента на порите на почвата.“ Моделите на критичното състояние, означени с CSM (Critical State Model), дефинират функционална зависимост между коефициента на порите и якостта на срязване на почвата. Състоянието на почвата се представя геометрично в пространството на инвариантите на ефективните напрежения p = (σ’1 + σ’2 + σ’3)/3, q = (σ’1 – σ’3) и коефициента на порите е чрез гранична повърхнина SBS (State Boundary Surface), която ограничава геометричното място на точките, изобразяващи възможно състояние на почвата (фиг. 1). Във връзка с граничната повърхнина се дефинират характерни линии, които според означенията на фиг. 1а, са следните:  А0В0 – линия на нормална консолидация (първична компресия) VCL (Virgin Consolidated Line), която съответства на състояние (σ’1 = σ’2 = σ’3), q = 0;  В0С0 – линия на разтоварване (набъбване) и на следващо натоварване (рекомпресия), която лежи под граничната повърхнина във вертикалната равнина, наречена още еластична стена;  АС – линия на критичното състояние CSL (Critical State Line), която разделя граничната повърхнина на подкритична и надкритична. Подкритичната повърхнина съответства на нормално уплътнени и леко преуплътнени почви, наречени мокри. При деформиране земята се уплътнява, при което водата напуска обема й под действие на положителен порен натиск. Надкритичната повърхнина съответства на силно преуплътнени сухи почви, които при деформиране се разширяват, поражда се отрицателен порен натиск с тенденция за всмукване на течност. Използването на логаритмичен мащаб за напрежението p линеаризира зависимостта между напреженията и коефициента на порите. На фиг. 1б са изобразени проекциите на линията на нормална консолидация, линията на набъбване и рекомпресия и линията на критично състояние. Те се описват със следните уравнения: е = еλ – λ.lnp (1) е = ек – к.lnp (2) е = Г – λ.lnp (3), където λ и к са почвени параметри, определящи наклона на линейните функции за коефициента на порите; еλ и ек са стойностите на коефициента на порите при напрежение p = 1 съответно за линията на нормална консолидация и за тази на набъбване; Г е критичният коефициент на порите при p = 1, получен от линията на критичното състояние. При почви, предварително уплътнени с натоварване p0, зависимостта между напреженията и коефициента на порите до достигане на p0 е линейна с наклон на правата к, както на линията на набъбване и рекомпресия. Проекцията на граничната повърхнина в равнината p/q е линията на пластичност. Тя се състои от две части, съответстващи на надкритичната и подкритичната гранична повърхнина. Надкритичната гранична повърхнина се приема като равнинна и нейната проекция в равнината p/q е правата D’C’ с наклон М0, която има уравнение от типа на Coulomb за материали с вътрешно триене и кохезия. Подкритичната гранична повърхнина е получила различни модификации с развитието на конститутивните модели в стремежа за по-точно отразяване на поведението на нормално уплътнените и слабо преуплътнените почви. В следващата точка са представени версиите на Cam-Clay модела на критичното състояние в зависимост от дефинирането на подкритичната гранична повърхнина. Проекцията на линията на критичното състояние CSL в равнината p/q е права с наклон М – правата D0’C’ на фиг. 1а. Основните хипотези на моделите на критичното състояние са следните:  Обемните деформации v в почвата се проявяват като еластични и пластични, а деформациите на срязване ε – само като пластични, което се формулира в диференциален вид по следния начин: dv = dve + dvp ; dε = dεp (4).  Пластични деформации има само когато състоянието на почвата се изобразява с точки от граничната повърхнина.  Еластичната стена е вертикална и точките от нея съответстват на състояние на почвата само с еластични обемни деформации.  Граничната повърхнина може да се изменя само по обем, като това става при всяко възникване на пластични обемни деформации. При пластични деформации на свиване се получава деформационно уякчаване на материала (Strain Hardening Material), което е свързано с разширяване на граничната повърхнина. Този процес е възможен за мокри почви и е представен с вектора GH на фиг. 1а. При пластични обемни деформации на разширяване се получава деформационно отслабване на материала (Strain Softening Material), което е свързано със свиване на граничната повърхнина. Това поведение е възможно при сухи почви и е изобразено с вектора EF на фиг. 1а.  Граничната повърхнина се описва с уравнение (критерий) на пластичност от вида f (p, q) – h = 0 (5), където f (p, q) се нарича функция на натоварване, а h е параметър на уякчаване, който е функция на пластичните деформации и се изразява чрез пластичния компонент на коефициента на порите. Cam-Clay модели на критичното състояние Има три основни версии на Cam-Clay моделите според приетата подкритична гранична повърхнина – оригинален модел, модифициран модел и ревизиран модифициран модел. При оригиналния Cam-Clay модел линията на пластичност, т.е. проекцията на подкритичната гранична повърхнина в равнината p/q, е логаритмична крива, която има хоризонтална допирателна в пресечната точка с линията на критичното състояние CSL (фиг. 2) и се описва със следното уравнение: q/(Мр) + lnp = lnp0 (6), където p0 е максималното уплътняващо напрежение. При модифицирания Cam-Clay модел линията на пластичност е елипса с хоризонтална допирателна в пресечната точка с линията на критичното състояние CSL и с вертикална допирателна в пресечната точка с оста p (фиг. 3). Описва се със следното уравнение: M2p + q2/p = M2p0 (6). Ревизираният модифициран Cam-Clay модел е базиран на резултати от експериментални изследвания, които показват, че пластични срязващи деформации се появяват и при състояния, изобразени с точки под граничната повърхнина. За отчитане на тази особеност се въвежда допълнителна сингулярна повърхнина на пластичност, която е от типа на Von Mises – в пространството на главните напрежения е цилиндрична. Нейната проекция в равнината p/q е права линия, означена на фиг. 4 с DE. В тази версия на модела проекцията на подкритичната гранична повърхнина в равнината p/q също е права – линията АС на фиг. 4, която е с наклон М1. Уравненията на повърхнините DE и АС са следните: f1 = q + M1 p (7) f2 = q (8), където f1 и f2 са функции, зависещи от пластичните деформации. Почвени параметри за моделите на критичното състояние Моделите на критичното състояние изискват дефинирането на следните материални параметри: λ – наклон на линията на нормална консолидация в равнината е/lnр; κ – наклон на линията на набъбване, респ. на линията на рекомпресия и на линията на преуплътняване; Γ – коефициент на порите при критично състояние, когато р = 1, т.е. при lnр = 0; M – наклон на линията на критично състояние в равнината р/q; р0 – вертикално напрежение на преуплътняване; OCR – отношение на преуплътняване; k0 – коефициент на земен натиск в покой. Параметрите λ и κ се определят от опити на изотропна консолидация (σ’1 = σ’2 = σ’3) на почвени проби в триосов апарат. Могат да бъдат определени и чрез коефициентите Сc и Сs на компресия и на набъбване по Terzaghi, които се получават от представянето на резултатите от компресионен опит в координатната система е/lgp, като се ползват следните зависимости: λ = Сc/2,303 (9) κ = Сs/2,303 (10). Параметърът Γ се определя от израза Γ = еλ – (λ – κ) (11), където еλ е стойността на коефициента на порите при напрежение p = 1 за линията на нормална консолидация. Параметърът M при критерий на разрушение на Mohr-Coulomb се получава от израза M = 6sinφ/(3 – sinφ) (12). Параметрите р0, OCR, k0 са необходими за дефиниране на началното напрегнато състояние на почвата и респективно на началната повърхнина на пластичност за конститутивния модел. Напрежението на преуплътняване р0, на което почвата е била подложена в миналото, обикновено се определя от компресионен опит и чрез него се дефинира OCR като отношение на напрежението на преуплътняване р0 към действащото в настоящия момент напрежение на уплътняване. За параметъра k0, необходим за дефиниране на хоризонталните напрежения, е валидна формулата k0 = 1– sinφ (13). Някои от моделите изискват като данни стойности на модифицираните параметри λ* и κ*, които определят логаритмична зависимост между обемната деформация εv и главното ефективно напрежение р. Те са свързани с параметрите λ и κ със следните зависимости: λ*= λ / (1 + e ) (14) κ*= κ / (1 + e) (15), където за коефициента на порите e се приема осреднена стойност, валидна за диапазона на уплътняващото натоварване. Параметри на моделите на критичното състояние за глина от Софийското поле (с. Житен) Полеви и лабораторни изследвания За кватернерни прахови глини от района на с. Житен (фиг. 5) са проведени опити и са установени специфичните параметри, необходими за конститутивните почвени модели на критичното състояние. Дадени са представителни данни, получени от изпитването на почвена проба Y3. На фиг. 6 са показани резултатите от плоско срязване, а на фиг. 7 – от компресионен опит. Определяне на параметрите на моделите На фиг. 8, 9 и 10 и в табл. 1 и 2 е показано определянето на параметрите на конститутивните модели. Обобщение на параметрите В табл. 3 са дадени параметрите Сс, Сs, λ, κ, Γ, M на конститутивните модели на критичното състояние за глина от Софийското поле (с. Житен), за която са определени физичните показатели специфична плътност ρs, начален коефициент на порите e0, граница на протичане WL и граница на източване WP. В същата таблица са параметрите на моделите и за други глини с подобни физични показатели, взети по литературни данни (9). Глината от Софийското поле по зърнометричен състав е прахова и тя има стойности на параметрите λ и κ, типични за този вид почви според Gudehus (табл. 4). Тя е с напрежение на преуплътняване 50 kPa и при нарастване на натоварването в компресионен апарат до 300 kPa дава намаляване на коефициента на порите с 8%. Сравнително малката деформируемост на софийската глина съответства на нейните по-ниски стойности на параметрите Сс, Сs, λ, κ в сравнение с фините пластични глини, както личи от данните в табл. 4. От друга страна, по-високата стойност на параметъра M на глината при с. Житен в сравнение с другите глини от табл. 3 означава, че тя има по-високи стойности на якостни показатели спрямо тях. Заключение Моделите на критичното състояние определят тенденциите и философията на развитието на съвременните конститутивни закони в геомеханика. Тези модели се отнасят за еластопластичен, деформационно уякчаващ се или деформационно отслабващ материал и са подходящи за глини. Материалните им параметри се определят от стандартни лабораторни опити. Моделите са адаптирани към метода на крайните елементи и са част от набора на материални модели в повечето съвременни софтуерни продукти за геотехнически анализ. Направените лабораторни и теоретични изследвания с цел определяне на параметрите на вариантите на критичното състояние за глина от Софийското поле показват съответствие с резултатите, получени от други автори. Получените данни ще послужат за по-точното моделиране на механичното поведение на земна основа в този район при решаването на геотехнически задачи. ЛИТЕРАТУРА 1. Михова, Л. Моделът Cam-Clay в геомеханиката. – Пътища, бр. 1, 2003. 2. Atkinson, J. H., P. L. Bransby. The Mechanics of Soils: An Introduction to Critical State Soil Mechanics. McGraw-Hill, 1978. 3. Britto, A. M., M. J. Gunn. Critical State Soil Mechanics via Finite Elements. John Wiley & Sons, Inc., 1987. 4. Burland, J. B. Deformation of soft clay. PhD Thesis, Cambridge University, 1967. 5. Hvorslev, M. J. Uber die Festigkeitsrigenschaften gestorter bindiger Boden, Ingvigensk. Skr., A, N 45, 1937. (English trans. No. 69-5, Waterways Experiment Station, Vickburg, Miss., 1969). 6. Muir Wood, D. Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics. Cambridge University Press, 1990. 7. Prevost, J. H., K. Hoeg. Effective stress-strain-strength model for soils, Jour. Of the Geotechnical Eng. Division, ASCE, Vol. 101, No. GT3, 1975. 8. Roscoe, K. H., J. B. Burland. On the generalized stress-strain behaviour of „wet” clay. Engineering Plastisity, Ed. J. Heyman & F. A. Leckie, Cambridge, 1968. 9. Schofield, A. N., C. P. Wroth. Critical State Soil Mechanics. McGraw-Hill, London, 1968. 10.Scott, C. R. An introduction to Soil Mechanics and Foundation. 1980. 11. Simpson, B. Finite elements applied to problems of plane strain deformation of soils. PhD Thesis, Cambridge University, 1973. 12. Truong, D. M., J. P. Magnan. Application des modeles elastoplastiques de l’Universite de Cambridge an calcul du comporement d’un remblai experimental sur soil mous. Laboratoire central des Ponts et Chaussees. Report de recherchе LPC 74, 1977. 13. Wroth, C. P. The predicted performance of soft clay under a trial embankment loading based on the Cam-Clay model. Finite element in geomechanics. Jhon Wiley & Sons, 1977. 14. Wroth, C. P., B. Simpson. An induced failure at a trial embankment – Part II: Finite element computations. Proc. ASCE. Speciality conf. on performance of earth and earth-supported structures. Pardue University, Lafayette, Indiana, Vol. 1, 1972. 15. Zienkewicz, O. C., D. J. Naylor. Discussion on the adaptation of critical state soil mechanics theory for use in finite elements. Proc. Roscoe Memorial Symposium, Foulis. Henley-on-Thames, Oxfordshire, 1975.